本文发表在 rolia.net 枫下论坛一个环形路线上运行两种车, 慢车和快车, 慢车10分钟一圈, 快车5分钟. 当车绕完一圈之后, 随机决定下一次是快还是慢. 问一个乘客随机的到轨道的任意地方, 平均的等车时间是多少?
先假设两车匀速运动。不难证明快车在前和慢车在前的概率相等，各为50%。假设环形路线长度为1，两车相距为 s (0<s<1/2).
1. 快车在前:
如乘客落在慢车前快车后，快车在前
t1=s/2*10=5s
乘客落在这个区间的概率为s;
如乘客落在快车前慢车后，平均的等车时间为：
t2=(1-s)/2*5=2.5(1-s)
乘客落在这个区间的概率为(1-s)
快车在前的平均的等车时间为：
T1=t1+t2=s*5s+(1-s)*2.5(1-s)=5s^2+2.5-5s+2.5s^2=7.5s^2-5s+2.5
2. 慢车在前:
如乘客落在快车前慢车后，平均的等车时间为：
t3=s/2*5=2.5s; 概率为s;
如乘客落车慢车前s内，平均的等车时间为：
t4=s/2*10=5s; 概率为s;
其它，平均的等车时间为：
t5=(2s+1)/2*5; 概率为(1-2s);
慢车在前的平均的等车时间为：
T2=s*2.5s+s*5s+(1-2s)(2s+1)*2.5=7.5s^2+2.5-10s^2=2.5-2.5s^2
对(T1+T2)/2在区间(0--1/2)求定积分得25/24，除以区间1/2得25/12.
最后答案：平均等车时间是25/12分钟。
（我靠，做完后我再看了一下题目，才知道只有一辆车在圈上跑。正确答案是2.5*1/3和5*2/3的平均数。太小儿科了吧。）更多精彩文章及讨论，请光临枫下论坛 rolia.net
先假设两车匀速运动。不难证明快车在前和慢车在前的概率相等，各为50%。假设环形路线长度为1，两车相距为 s (0<s<1/2).
1. 快车在前:
如乘客落在慢车前快车后，快车在前
t1=s/2*10=5s
乘客落在这个区间的概率为s;
如乘客落在快车前慢车后，平均的等车时间为：
t2=(1-s)/2*5=2.5(1-s)
乘客落在这个区间的概率为(1-s)
快车在前的平均的等车时间为：
T1=t1+t2=s*5s+(1-s)*2.5(1-s)=5s^2+2.5-5s+2.5s^2=7.5s^2-5s+2.5
2. 慢车在前:
如乘客落在快车前慢车后，平均的等车时间为：
t3=s/2*5=2.5s; 概率为s;
如乘客落车慢车前s内，平均的等车时间为：
t4=s/2*10=5s; 概率为s;
其它，平均的等车时间为：
t5=(2s+1)/2*5; 概率为(1-2s);
慢车在前的平均的等车时间为：
T2=s*2.5s+s*5s+(1-2s)(2s+1)*2.5=7.5s^2+2.5-10s^2=2.5-2.5s^2
对(T1+T2)/2在区间(0--1/2)求定积分得25/24，除以区间1/2得25/12.
最后答案：平均等车时间是25/12分钟。
（我靠，做完后我再看了一下题目，才知道只有一辆车在圈上跑。正确答案是2.5*1/3和5*2/3的平均数。太小儿科了吧。）更多精彩文章及讨论，请光临枫下论坛 rolia.net