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我来公布答案吧。

本文发表在 rolia.net 枫下论坛一个环形路线上运行两种车, 慢车和快车, 慢车10分钟一圈, 快车5分钟. 当车绕完一圈之后, 随机决定下一次是快还是慢. 问一个乘客随机的到轨道的任意地方, 平均的等车时间是多少?

先假设两车匀速运动。不难证明快车在前和慢车在前的概率相等,各为50%。假设环形路线长度为1,两车相距为 s (0<s<1/2).

1. 快车在前:

如乘客落在慢车前快车后,快车在前
t1=s/2*10=5s
乘客落在这个区间的概率为s;

如乘客落在快车前慢车后,平均的等车时间为:
t2=(1-s)/2*5=2.5(1-s)
乘客落在这个区间的概率为(1-s)

快车在前的平均的等车时间为:
T1=t1+t2=s*5s+(1-s)*2.5(1-s)=5s^2+2.5-5s+2.5s^2=7.5s^2-5s+2.5

2. 慢车在前:

如乘客落在快车前慢车后,平均的等车时间为:
t3=s/2*5=2.5s; 概率为s;

如乘客落车慢车前s内,平均的等车时间为:
t4=s/2*10=5s; 概率为s;

其它,平均的等车时间为:
t5=(2s+1)/2*5; 概率为(1-2s);

慢车在前的平均的等车时间为:
T2=s*2.5s+s*5s+(1-2s)(2s+1)*2.5=7.5s^2+2.5-10s^2=2.5-2.5s^2

对(T1+T2)/2在区间(0--1/2)求定积分得25/24,除以区间1/2得25/12.

最后答案:平均等车时间是25/12分钟。

(我靠,做完后我再看了一下题目,才知道只有一辆车在圈上跑。正确答案是2.5*1/3和5*2/3的平均数。太小儿科了吧。)更多精彩文章及讨论,请光临枫下论坛 rolia.net
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Replies, comments and Discussions:

  • 枫下沙龙 / 休闲娱乐 / 美国佬的一道刁难问题,想挑战高手的进来!
    一个环形路线上运行两种车, 慢车和快车, 慢车10分钟一圈, 快车5分钟. 当车绕完一圈之后, 随机决定下一次是快还是慢. 问一个乘客随机的到轨道的任意地方, 平均的等车时间是多少?
    • totally one car or two cars?
      • 6.667 minutes
        6.667 minutes
    • 35/16
      • 刚才想的太简单了。应为5/3.
        • computing mistake. should be 15/8.
    • 公布答案吧
      20多年没有做这种题了。15/8是定积分的结果。
    • 我来公布答案吧。
      本文发表在 rolia.net 枫下论坛一个环形路线上运行两种车, 慢车和快车, 慢车10分钟一圈, 快车5分钟. 当车绕完一圈之后, 随机决定下一次是快还是慢. 问一个乘客随机的到轨道的任意地方, 平均的等车时间是多少?

      先假设两车匀速运动。不难证明快车在前和慢车在前的概率相等,各为50%。假设环形路线长度为1,两车相距为 s (0<s<1/2).

      1. 快车在前:

      如乘客落在慢车前快车后,快车在前
      t1=s/2*10=5s
      乘客落在这个区间的概率为s;

      如乘客落在快车前慢车后,平均的等车时间为:
      t2=(1-s)/2*5=2.5(1-s)
      乘客落在这个区间的概率为(1-s)

      快车在前的平均的等车时间为:
      T1=t1+t2=s*5s+(1-s)*2.5(1-s)=5s^2+2.5-5s+2.5s^2=7.5s^2-5s+2.5

      2. 慢车在前:

      如乘客落在快车前慢车后,平均的等车时间为:
      t3=s/2*5=2.5s; 概率为s;

      如乘客落车慢车前s内,平均的等车时间为:
      t4=s/2*10=5s; 概率为s;

      其它,平均的等车时间为:
      t5=(2s+1)/2*5; 概率为(1-2s);

      慢车在前的平均的等车时间为:
      T2=s*2.5s+s*5s+(1-2s)(2s+1)*2.5=7.5s^2+2.5-10s^2=2.5-2.5s^2

      对(T1+T2)/2在区间(0--1/2)求定积分得25/24,除以区间1/2得25/12.

      最后答案:平均等车时间是25/12分钟。

      (我靠,做完后我再看了一下题目,才知道只有一辆车在圈上跑。正确答案是2.5*1/3和5*2/3的平均数。太小儿科了吧。)更多精彩文章及讨论,请光临枫下论坛 rolia.net
    • 这样小儿科的题目,请楼主不要用刁难,高手这样的字眼。误导了我两个晚上。两车同时跑的答案见上。
    • 这要看多少辆车在运行了,如果是高峰期,估计1分半一辆车.